并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些**不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）**定义了两个用于此数据结构的操作：
- Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
- Union：将两个子集合并成同一个集合。
算法实现
变量
一个数组parent代表第i个元素所指向的父节点
一个数组sz代表以i为根的集合中的元素个数 （用以优化算法，非必须）
int* parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
// 使用sz还是rank优化需要根据题目的要求进行选择
int* sz; // sz[i]表示以i为根的集合中元素个数
int* rank; // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
int count; // 数据个数
函数
初始化
循环对每个元素的parent和sz赋值，此时每个元素都以自己为根节点，且集合中元素个数均为1
parent = new int[count];
sz = new int[count];
this->count = count;
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
sz[i] = 1;
}
Find函数
assert需要assert.h头文件，处理异常数据p
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
Union函数
寻找两个元素的根节点并将两个元素所在的集合合并
- 基于sz的优化
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
// 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
if( sz[pRoot] < sz[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
sz[qRoot] += sz[pRoot];
} else{
parent[qRoot] = pRoot;
sz[pRoot] += sz[qRoot];
}
}
- 基于rank的优化
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
// 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
if( rank[pRoot] < rank[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
}else if( rank[qRoot] < rank[pRoot]){
parent[qRoot] = pRoot;
}else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
parent[pRoot] = qRoot;
rank[qRoot] += 1; // 此时, 我维护rank的值
}
}
isConnected函数
用于检测两个元素是否属于同一集合
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
bool isConnected( int p , int q ){
return find(p) == find(q);
}
Count函数
如HDU-1232需要检测一共有几个集合
int count_sets(){
int count = 0;
for(int i = 0; i < this->count; i++){
if(find(i) == i)
count++;
}
return count;
}
完整算法
全部使用C++的类写的算法，使用方法如下
int n;
cin >> n;
UF1::UnionFind uf = UF1::UnionFind(n);
也可以将其中的变量及函数放到min函数外面使用
基于sz优化
#include <cassert>
using namespace std;
namespace UF1{
class UnionFind{
private:
int* parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
int* sz; // sz[i]表示以i为根的集合中元素个数
int count; // 数据个数
public:
// 构造函数
UnionFind(int count){
parent = new int[count];
sz = new int[count];
this->count = count;
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
sz[i] = 1;
}
}
// 析构函数
~UnionFind(){
delete[] parent;
delete[] sz;
}
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
bool isConnected( int p , int q ){
return find(p) == find(q);
}
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
// 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
if( sz[pRoot] < sz[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
sz[qRoot] += sz[pRoot];
}
else{
parent[qRoot] = pRoot;
sz[pRoot] += sz[qRoot];
}
}
};
}
基于rank优化
#include <cassert>
using namespace std;
namespace UF2{
class UnionFind{
private:
int* rank; // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
int* parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
int count; // 数据个数
public:
// 构造函数
UnionFind(int count){
parent = new int[count];
rank = new int[count];
this->count = count;
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
rank[i] = 1;
}
}
// 析构函数
~UnionFind(){
delete[] parent;
delete[] rank;
}
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
bool isConnected( int p , int q ){
return find(p) == find(q);
}
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
// 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
if( rank[pRoot] < rank[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
}
else if( rank[qRoot] < rank[pRoot]){
parent[qRoot] = pRoot;
}
else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
parent[pRoot] = qRoot;
rank[qRoot] += 1; // 此时, 我维护rank的值
}
}
};
}