完全数

完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是过剩数。

完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过 $math_inline$2^{n-1}\times(2^n-1)$math_inline$ 的表达式发现前四个完全数的。

当 $math_inline$n=2 : 2^1\times(2^2-1)=6$math_inline$

当 $math_inline$n=3 : 2^2\times(2^3-1)=28$math_inline$

当 $math_inline$n=5 : 2^4\times(2^5-1)=496$math_inline$

当 $math_inline$n=7 : 2^6\times(2^7-1)=8128$math_inline$

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式： $math_inline${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$math_inline$ ，其中 $math_inline${\displaystyle 2^{n}-1}$math_inline$ 是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的 $math_inline${\displaystyle 6}$math_inline$ 和 $math_inline${\displaystyle 28}$math_inline$ 对应着 $math_inline${\displaystyle n=2}$math_inline$ 和 $math_inline${\displaystyle 3}$math_inline$ 的情况。我们只要找到了一个形如 $math_inline${\displaystyle 2^{n}-1}​$math_inline$ 的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 $math_inline${\displaystyle 12p+1}$math_inline$ 或 $math_inline${\displaystyle 36p+9}$math_inline$ 的形式，其中 $math_inline${\displaystyle p}$math_inline$ 是素数。

首十个完全数是（ A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到 2018 年 1 月为止，共发现了 50 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为 $math_inline$2^{77232916}\times(2^{77232917}-1)$math_inline$ 共有 $math_inline${\displaystyle 46498850}$math_inline$ 位数[1]。

性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

• 偶完全数都是以6或28结尾。
• 在十二进制中，除了6跟28以外的偶完全数都以54结尾，甚至，除了6, 28, 496以外的偶完全数都以054或854结尾。而如果存在奇完全数，她在十二进制中必定以1, 09, 39, 69或99结尾。
• 除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1[注 1]：

$math_inline$28→2+8=10→1+0=1$math_inline$

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 $math_inline${\displaystyle 2^{p-1}}$math_inline$ 到 $math_inline${\displaystyle 2^{2p-2}}$math_inline$ ：

$math_inline$6=2^1+2^2$math_inline$ $math_inline$28=2^2+2^3+2^4$math_inline$ $math_inline$496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8$math_inline$ $math_inline$8128=2^6+2^7+...+2^{12}$math_inline$

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和[注 2]：

$math_inline$6=1+2+3$math_inline$ $math_inline$28=1+2+3+4+5+6+7$math_inline$ $math_inline$496=1+2+3+4+…+30+31$math_inline$

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有 $math_inline${\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}}$math_inline$ )[注 3]：

$math_inline$28=1^3+3^3$math_inline$ $math_inline$496=1^3+3^3+5^3+7^3$math_inline$

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

$math_inline$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{6+3+2+1}{6}=2​$math_inline$ $math_inline$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=\frac{28+14+7+4+2+1}{28}=2$math_inline$

它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如 $math_inline$2^{n-1}(2^n-1)$math_inline$ )

$math_inline$(6)_{10}=(110)_2​$math_inline$ $math_inline$(28)_{10}=(11100)_2$math_inline$ $math_inline$(496)_{10}=(111110000)_2$math_inline$