2019-05-29 2024-09-15 1336 字 3 分钟

Algorithm

如何判断两条直线是否相交？

这很容易。平面直线，无非就是两种关系：相交或平行。因此，只需判断它们是否平行即可。而直线平行，等价于它们的斜率相等，只需分别计算出它们的斜率，即可做出判断。

但倘若我把“直线”换成“线段”呢——如何判断两条线段是否相交？

这就有些难度了。和直线不同，线段是有固定长度的，即使它们所属的两条直线相交，这两条线段也不一定相交。

问题分析

对于“判断两条直线是否相交”这个问题，我们之所以能迅速而准确地进行判断，是因为“相交”与“不相交”这两个状态有着明显的不同点，即斜率是否相等。

那么现在，为了判断两条线段是否相交，我们也要找出“相交”与“不相交”这两个状态的不同点。

假设现在有两条线段 AB 和 CD，我们画出它们之间的三种关系：

其中，情况 1 为不相交，情况 2、3 为相交。

作出向量 AC、AD、BC、BD。

首先介绍一个概念： 向量有序对的旋转方向。这个概念指：对于共起点有序向量二元组(a, b)，其旋转方向为 使 a 能够旋转一个小于 180 度的角并与 b 重合的方向，简记为 direct(a, b)。若 a 和 b 反向共线，则旋转方向取任意值。

举个例子：图一中，direct(AC, AD) 为顺时针方向。

接下来我们要分析四个值：direct(AC, AD)、direct(BC, BD)、direct(CA, CB)、direct(DA, DB)。

对于图一，direct(AC, AD) 和 direct(BC, BD) 都为顺时针，direct(CA, CB) 为逆时针，direct(DA, DB) 为顺时针。

对于图二，direct(AC, AD) 为顺时针，direct(BC, BD) 为任意方向，direct(CA, CB) 为逆时针，direct(DA, DB) 为顺时针。

对于图三，direct(AC, AD)、direct(DA, DB) 为顺时针，direct(BC, BD)、direct(CA, CB) 为逆时针。

不难发现，两条线段相交的充要条件是：direct(AC, AD) != direct(BC, BD) 且 direct(CA, CB) != direct(DA, DB)。这便是“相交”与“不相交”这两个状态的不同点。

然而你可能会觉得：旋转方向这么一个虚无飘渺的东西，怎么用程序去描述啊？

再来看一幅图：

再来定义有向角：

有向角 <a, b> 为向量 a 逆时针旋转到与向量 b 重合所经过的角度。

不难看出，对于向量 a、b：

若 direct(a, b) 为逆时针，则 0 <= <a, b> <= 180，从而 sin<a, b> >= 0。

若 direct(a, b) 为顺时针，则 180 <= <a, b> <= 360，从而 sin<a, b> <= 0。

这样一来，我们可以将旋转方向的问题转化为 求有向角正弦值 的问题。而这个问题，是很容易的。

如上图，记

$math_inline$OA=(x_1,y_1),OB=(x_2,y_2)$math_inline$ $math_inline$|OA|=r_1, |OB|=r_2$math_inline$

则： $math_inline$sin()$math_inline$

$math_inline$=\sin\theta$math_inline$ $math_inline$=\sin(\alpha-\beta)$math_inline$ $math_inline$=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$math_inline$ $math_inline$=\frac{(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)r_1\cdot r_2}{r_1\cdot r_2}$math_inline$ $math_inline$=\frac{x_1 \cdot y_2-x_2 \cdot y_1}{r_1 \cdot r_2}$math_inline$

而这里，我们要的只是 sin(<OA, OB>) 的符号，而 r1 和 r2 又都是恒正的，因此只需判断 x1 * y2 - x2 * y1 的符号即可。

这个方法的数学背景是叉乘，可以前往 Wikipedia 了解更多。

思路小结

由点 A，B，C，D 计算出向量 AC，AD，BC，BD
计算 sin(<AC, AD>) * sin(<BC, BD>) 和 sin(<CA, CB>) * sin(<DA, DB>)，若皆为非正数，则相交；否则，不相交。

实现

# 点
class Point(object):

    def __init__(self, x, y):
        self.x, self.y = x, y

# 向量
class Vector(object):

    def __init__(self, start_point, end_point):
        self.start, self.end = start_point, end_point
        self.x = end_point.x - start_point.x
        self.y = end_point.y - start_point.y


ZERO = 1e-9

def negative(vector):
    """取反"""
    return Vector(vector.end_point, vector.start_point)

def vector_product(vectorA, vectorB):
    '''计算 x_1 * y_2 - x_2 * y_1'''
    return vectorA.x * vectorB.y - vectorB.x * vectorA.y

def is_intersected(A, B, C, D):
    '''A, B, C, D 为 Point 类型'''
    AC = Vector(A, C)
    AD = Vector(A, D)
    BC = Vector(B, C)
    BD = Vector(B, D)
    CA = negative(AC)
    CB = negative(BC)
    DA = negative(AD)
    DB = negative(BD)

    return (vector_product(AC, AD) * vector_product(BC, BD) <= ZERO) \
        and (vector_product(CA, CB) * vector_product(DA, DB) <= ZERO)

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