每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如30=2×3×5 。分解质因数只针对合数。
质数： 质数（prime number）又称素数，有无限个。
质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
合数： 合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。
定义
质因数（或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数成为互质。因为1没有质因子，所以1与任何正整数（包括自身）都是质数。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以质数表示。根据算数基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。
分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式。
例子
- 1没有质因子
- 5只有1个质因子，5本身。（5是质数）
- 6的质因子是2和3（6=2*3）
- 2、4、8、16等只有一个质因子：2（2是质数， $math_inline$4=2^2$math_inline$ ， $math_inline$8=2^3$math_inline$ ，如此类推）
- 10有两个质因子：2和5.（10=2*5）
就是一个数的约数，并且是质数，比如 $math_inline$8=2 * 2 * 2$math_inline$ ，2就是8的质因数。 $math_inline$12=2 * 2 * 3$math_inline$ ，2和3就是12的质因数。把一个式子以 $math_inline$12=2 * 2 * 3$math_inline$ 的形式表示，叫做分解质因数。 $math_inline$16=2 * 2 * 2 * 2$math_inline$ ，2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。
分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按照原来的方法，直至最后是一个质数。
分解质因数有两种方法表示，除了大家最长知道的“短除法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。
分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为最大公约数和最小公倍数做了重要铺垫。
计算方法
短除法
求一个数的分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式：
求最大公因数的一种方法，也可以用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
- 12的因数有：1、2、3、4、6、12
- 18的因数有：1、2、3、6、9、18
- 12与18的公因数有：1、2、3、6
- 12与18的最大公因数是6
这两种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
- $math_inline$12=2 * 2 * 3$math_inline$
- $math_inline$18=2 * 3 * 3$math_inline$
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分解质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果来看，12与18都有公约数2和3，而他们的乘积2*3=6，就是12与18的最大公约数。
采用分解质因数的方法，也就是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果吧这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。
从短除中不难看出，12和18都有公约数2和3，他们的乘积2*3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是吧需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约束的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。
只含有一个质因数的数一定是亏数。（在数论中，若一个正整数除了本身之外所有因子之和比此数自身小，则称此数为亏数（又称作缺数）。）
短除法详解：
短除富豪就是除号倒过来。短除就是在除法中写余数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被共有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）
而在用短除法计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个数都是互质关系。
求最大公因数遍乘一边，求最小公倍数遍乘一圈。
在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。**求最大公约数遍乘左边所有数公共的因数，求最小公倍数遍乘一圈。**这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
Pollard Rho因数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为 $math_inline$O(n^{(1/4)})$math_inline$ 。
将一个正整数分解质因数。例如：输入90，打印出 $math_inline$90=2 * 3 * 3 * 5$math_inline$ 。 程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：
- 如果这个质数恰好等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
- 如果n<>，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商，作为新的正整数n，重复执行第一步。
- 如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值，重复执行第一步。
//将一个数n分解为若干个从小到大排列的质数的积
void f1(int n) {
cout << n << " = ";
int n2 = n;
if (n < 2) {
cout << "ERROR" << endl;
} //小于2的数不合法，若n为质数则输出它本身
for (int i = 2; i * i <= n2; i++) { //根号n复杂度
while (n2 % i == 0) {
n2 = n2 / i;
cout << i;
if (n2 != 1) cout << "*";
}
}
if (n2 != 1) cout << n2; //当n为质数
cout << endl;
}
void f2(int n) {
cout << n << " = ";
for (int i = 2; i <= n; i++) {
while (n != i) {
if (n % i == 0) {
cout << i << '*';
n = n / i;
} else break;
}
}
cout << n << endl;
}
void f3(ll n) {
cout << n << '=';
int flag = 0;
for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
while (n % i == 0) {
n = n / i;
if (!flag) cout << i;
else cout << '*' << i;
flag |= 1;
}
}
if (n != 1 && !flag) cout << n << endl;
else if (n != 1 && flag) cout << '*' << n << endl;
else cout << endl;
}
另外代码：
我们用所有正整数试验一下，从2开始进行拭除，逐步增加除数的值，去寻找一个可以整除n的数。在Eratosthenes筛法的讨论中，我们知道如果n是一个复合数，那么它就会有一个素数 $math_inline$p\leq\sqrt{n}$math_inline$ 。
这个算法有两个循环路径，内部的和外部的。外部循环求唯一因数，内部循环求一个因数的多个复本。例如： $math_inline$24=2^3\times3$math_inline$ ，外部循环求出因数2和3.内部循环求出2是一个多因数。
void trial_divisio_fac(int n) {
int a = 2;
cout << n << "= ";
while (a * a <= n) {
while (n % a == 0) {
cout << a << '*';
n = n / a;
}
a++;
}
if (n > 1) cout << n;//n没有因数
cout << endl;
}
上面的代码解释比较清楚。为什么这种方法可以得到素数。
因为我们在内层循环中，已经把当前a的所有倍数都去除了。这跟埃斯托尼算法一样的。
如果整数较小，这种情况下拭除法通常都是很有效的，但是如果用来分解更大的整数，拭除法就变得非常低效甚至不可用了。这种算法的复杂度是随着n的增加呈指数级别增长的。
拭除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。
给定一个合数n（这里，n是待分解的整数），拭除法看成是用小于等于 $math_inline$\sqrt{n}$math_inline$ 的每个素数去拭除待分解的整数。如果找到一个数能够整除除尽，这个数就是待分解整数的因子。
运用拭除法求1233的因数
$math_inline$1233=3^2 * 137$math_inline$