动态规划

背包的状态转换方程 : $_math_inline$f[i,j] = Max\lbrace f[i-1,j-W_i]+Pi( j >= W_i ), f[i-1,j] \rbrace$math_inline_$

$_math_inline$f[i,j]$math_inline_$ 表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。 Pi表示第i件物品的价值。 决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物（不是5种宝物），它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包, 怎么装背包，可以才能带走最多的财富。

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

首先要明确这张表是自底向上，从左到右生成的。

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包，所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3，a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是 $_math_inline$f[i-1,j]$math_inline_$ ，对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是 $_math_inline$f[i-1,j-Wi]+Pi$math_inline_$ ；

在这里，

$_math_inline$f[i-1,j]$math_inline_$ 表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

$_math_inline$f[i-1,j-Wi]$math_inline_$ 表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

$_math_inline$f[i-1,j-Wi]$math_inline_$ 就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

 1void FindMax(){
 2    memset(V, 0, sizeof(V));
 3    for(int i = 1; i <= number; ++i){
 4        for(int j = 1; j <= capacity; ++j){
 5            if(j<w[i]){ // 装不进去
 6                V[i][j] = V[i-1][j];
 7            }else{ // 能装
 8                if(V[i-1][j] > V[i-1][j-w[i]]+v[i]){ // 不装价值大
 9                	V[i][j] = V[i-1][j];
10                }else{ // 前i-1个物品的最优解与第i个物品的价值之和更大
11                    V[i][j] = V[i-1][j-w[i]]+v[i];
12                }
13            }
14        }
15    }
16}