2019-07-26  2024-09-15    775 字  2 分钟

前向星是一种特殊的边集数组中的每一条边按照起点从小到大排序,如果起点相同就按终点从小到大排序,并记录下某个点为起点的所有边在数组中的起始位置和存储长度,那么前向星就构造好了。

  • len[i]来记录所有以i为起点的边在数组中的存储长度
  • head[i]来记录以i为边集在数组中的第一个位置

我们输入的边的顺序为

1 2
2 3
3 4
1 3
4 1
1 5
4 5

排序后就得到

编号:    1 2 3 4 5 6 7
起点u:   1 1 1 2 3 4 4
终点v:   2 3 5 3 4 1 5

得到

head[1] = 1   len[1] = 3
head[2] = 4   len[2] = 1
head[3] = 5   len[3] = 1
head[4] = 6   len[4] = 2

但是利用前向星会有排序操作,如果用快排时间复杂度至少为 O(nlogn)

如果用链式前向星,就可以避免排序

我们建立边结构体为

struct Edge{
    int next; // 与第i条边同起点的下一条边的存储位置
    int to; // 表示第i条边的终点
    int w; // 边的权值
};

另外还有一个head[],它用来表示以i为起点的第一条边存储的位置,实际上你会发现这里的第一条边存储的位置其实在以i为起点的所有边的最后输入的那个编号。

head[]一般初始化为-1,对于加边的add函数是这样的

void add(int u, int v, int w){
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

初始化 cnt = 0 ,来模拟一下

edge[0].to = 2;  edge[0].next = -1;  head[1] = 0;
edge[1].to = 3;  edge[1].next = -1;  head[2] = 1;
edge[2].to = 4;  edge[2].next = -1;  head[3] = 2;
edge[3].to = 3;  edge[3].next = 0;   head[1] = 3;
edge[4].to = 1;  edge[4].next = -1;  head[4] = 4;
edge[5].to = 5;  edge[5].next = 3;   head[1] = 5;
edge[6].to = 5;  edge[6].next = 4;   head[4] = 6;

很明显,head[i]保存的是以i为起点的所有边中编号最大的那个,而把这个当作顶点i的第一条起始边的位置。

这样在遍历时是倒着遍历的,也就是说与输入顺序是相反的,不过这样不影响结果的正确性。

比如以上图为例,以节点1为起点的边有3条,他们的编号分别是0,3,5 而 head[i] = 5

我们在遍历以u家电为起始位置的所有边的时候是这样的

for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next)

那么就说先遍历编号为5的边,也就是head[1],然后就是edge[5].next,也就是编号3的边,然后继续edge[3].next也就是编号0的边,可以看出是逆序的。